Прогиб консольной балки формула: Расчетные схемы для балок — Доктор Лом — Бетонный завод в Феодосии: доставка продукции с РБУ от производителя

Содержание

Расчет прогиба балки методом начальных параметров

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

E – модуль упругости;
I – момент инерции;
V_k – прогиб сечения K;
V_O – прогиб сечения O;
θ_O – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае V_k, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIV_O:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθ_O всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: V_K, VO и θ_O. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть V_O=0 и θ_O=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·10⁵ МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см⁴). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

V_A = 0 при x = 6м

θ_A = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (V_O). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб V_Oи угол поворота этого сечения — θ_O:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.

Консольная балка | SkyCiv Engineering

Определение консольной балки: Что такое Консольный Луч?

Консольные балки — это элементы, которые поддерживаются только из одной точки; как правило, с фиксированной поддержкой. Для того чтобы структура была статичной, поддержка должна быть исправлена; это означает, что он способен поддерживать силы и моменты во всех направлениях. Консольный луч обычно моделируется так:

Хорошим примером консольной балки является балкон. Балкон поддерживается только на одном конце, остальная часть луча распространяется на открытое пространство; нет ничего поддерживающего это с другой стороны.

Консольное отклонение луча

Консоли отклоняют больше, чем большинство другие типы балок так как они поддерживаются только с одного конца. Это означает, что поддержка для переноса нагрузки меньше. Отклонение балки кантилевера можно рассчитать несколькими способами, включая использование упрощенных уравнений пучка кантилевера или калькуляторов пучка кантилевера и программного обеспечения (больше информации об обоих ниже).

Консольный пучковый стресс

Напряжение консоли рассчитывается на основе изгибающей силы и зависит от поперечного сечения балки.. Например, если член совсем маленький, не так много площади поперечного сечения, по которой сила распределяется по, поэтому стресс будет довольно высоким. Напряжение балки кантилевера можно рассчитать с помощью нашего учебника по как рассчитать напряжение пучка или используя Программное обеспечение SkyCiv Beam – который покажет напряжения вашего луча.

Консольный Калькулятор Луча

Получил сложную консольную балку? SkyCiv бесплатно калькулятор кантилевера позволяет моделировать и анализировать сложные балки для расчета отклонения балки кантилевера, а также многое другое.

Программное обеспечение чрезвычайно простое в использовании и не требует установки или загрузки. Добавьте свою длину члена, затем применить ряд различных точечных нагрузок, распределенные нагрузки, и моменты для вашей консольной балки, чтобы получить ваши силы реакции, диаграмма изгибающего момента, диаграмма поперечной силы, и результаты прогиба.

Бесплатный Калькулятор Луча

Консольные уравнения луча (прогиб)

Взято из нашего формула и уравнение прогиба балки страница:

Пример уравнения консольной балки можно рассчитать по следующей формуле, где:

W = нагрузка
L = длина члена
E = модуль Юнга
Я = Момент инерции луча

Бесплатный Калькулятор Луча

Расчет прогиба консольной балки

Предлагаем произвести ориентировочный расчет балок на прогиб и изгиб из круглого, квадратного, шестигранного и прямоугольного проката калькулятором.

Перед произведением расчетов настоятельно рекомендуем ознакомиться с расположенной ниже инструкцией

Онлайн калькулятор определения прогиба/изгиба балок

Выберите форму поперечного сечения проката

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

в опорах прогибы равны нулю;
в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. < 3 >>< 6 >]

Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

Выражаем угол поворота:

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

построение эпюр в балках

Расчетная схема № 274130

Почему не бесплатно? – Сайт создан исключительно на энтузиазме автора и дабы этот энтузиазм не угас, хотелось бы его подкрепить хоть каким-нибудь материальным поощрением. Кроме того, возросшее количество пользователей вынудило перейти на платный хостинг.

Условия оплаты? – Взнос денег считаем спонсорским взносом, поэтому ни о каком возврате речь идти не может, тем более суммы мизерные – практически не о чем спорить.
Но! Если Вы оплатили взнос, но недовольны результатом, Вы всегда можете обратиться за помощью к автору – Telegram: sopromat_xyz WhatsApp

А Ваш сайт не сворует мой номер карты, пароли и т.д. – Это невозможно! После того, как Вы нажмете «Перевести», Вы будете направлены на страницу Яндекса (можете проверить в адресной строке), и все дальнейшие операции будете производить на сервисе Яндекса, так что со стороны сайта Вам ничего не грозит.

Жесткая заделка

Шарнирная опора

Врезной шарнир

Сосредоточенная сила F

Сосредоточенный момент M

Распределенная нагрузка

Подбор сечения и прогибы

подобрать двутавр [σ] = МПа

подобрать круг [σ] = МПа

подобрать квадратное сечение [σ] = МПа

подобрать трубчатое сечение [σ] = МПа при d/D=

подобрать прямоугольное сечение [σ] = МПа при h/b=

записать уравнения начальных параметров для каждого участка и посчитать прогибы и углы поворота в промежуточных точках

Подробный ход решения – расчет балки, построение эпюр

Заменим распределенную нагрузку равнодействующей

Составим уравнения равновесия для определения реакций опор

Σ M_A = + P · 2 + Q1 · 3 – M – R_E · 6= + 412 · 2 + 32 · 3 – 10 – R_E · 6=0

Σ M_E = – P · 4 – Q1 · 3 – M + R_A · 6= – 412 · 4 – 32 · 3 – 10 + R_A · 6=0

Из этих уравнений находим реакции опор

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки , используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 4 м )

M(z₂) = + R_A · z – P·(z – 2) – q₁·(z – 2) 2 /2 = + 292.3 · z – 412·(z – 2) – 16·(z – 2) 2 /2

На участке CD: (4 ≤ z₃ ≤ 5 м )

Q(z₃) = + R_A – P – Q₁ = + 292.3 – 412 – 32 = -151.667 кН

M(z₃) = + R_A · z – P·(z – 2) – Q₁·(z – 3) = + 292.3 · z – 412·(z – 2) – 32·(z – 3)

На участке DE: (5 ≤ z₄ ≤ 6 м )

Q(z₄) = + R_A – P – Q₁ = + 292.3 – 412 – 32 = -151.667 кН

M(z₄) = + R_A · z – P·(z – 2) – Q₁·(z – 3) – M = + 292.3 · z – 412·(z – 2) – 32·(z – 3) – 10

Максимальный момент в балке составляет M_max = 585 кНм. По этому значению подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = M_max / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле W_min=M_max / [σ]

Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа
W_min=585000 / 160 = 3656.25 см 3
Из сортамента выбираем двутавр № с моментом сопротивления W = 0 см 3 и площадью A = см 2
Максимальные нормальные напряжения в двутавре составляют
σ_max = M_max/Wx = 585000/0 = 0 МПа
Максимальные касательные напряжения в двутавре (на центральной оси) составляют
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix = 292000×0×10 -6 /0××10 -8 = 0×10 6 Па = 0 МПа
Касательные напряжения на границе полки и стенки составляют
τ_max = Q_max×Sx’/b×Ix = 292000×0×10 -6 /0××10 -8 = 0×10 6 Па = 0 МПа,
где статический момент отсеченной полки составляет
Sx’=b×t×(h-t)/2=0×0×(0-0)/2=0 см 3 .
Эпюры нормальных и касательных напряжений для двутавра:

Подбираем круг.
W_min=585000/160=3656 см 3
Момент сопротивления сплошного круглого сечения
W=π×d 3 / 32
d 3 =32×W / π = 32×3656 / π = 37259
Диаметр сечения будет таким d=33.4 см
Площадь сечения
A=π×d 2 /4=π×33.4 2 /4=875.71 см 2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 32×M_max/π×d 3 = 32×585000/π×33.4 3 = 160.01 МПа
Максимальные касательные напряжения для круга составляют
τ_max = 4Q_max/3A = 4×292000/3×875.71×100 = 4.446 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для круга:

Подбираем трубу с отношением диаметров α = d/D = 0.9
W_min=585000 / 160=3656 см 3
Момент сопротивления трубчатого сечения
W=π×D 3 ×(1-α 4 )/32
D 3 =32×W / π×(1-α 4 ) = 32×3656 / π×(1-0.9 4 )=108341
Диаметр сечения будет таким D=47.7 см
Площадь сечения A=π×D 2 (1-α 2 )/4=π×47.7 2 (1-0.9 2 )/4=339.36 см 2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 32×M_max/π×D 3 ×(1-α 4 ) = 32×585000/π×47.7 3 ×(1-0.9 4 ) = 159.73 МПа
Максимальные касательные напряжения для трубы определим по формуле Журавского
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix, где b=D-d
Статический момент полусечения
Sx=2R 3 /3-2r 3 /3=(D 3 -d 3 )/12=(47.7 3 -(47.7×0.9) 3 )/12=2451 см 3
Момент инерции сечения
Ix=π×D 4 ×(1-α 4 )/64=π×47.7 4 ×(1-0.9 4 )/64=87348.48 см 4
τ_max = 292000×2451×10 -6 /(47.7-0.9×47.7)×0.01×87348.48 -8 =0.172×10 6 Па = 0.172 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для трубы:

Подбираем квадрат.
W_min=585000 / 160=3656 см 3
Момент сопротивления квадратного сечения
W=a 3 /6
Сторона квадрата будет такой a= 28 см
Площадь сечения A=a 2 =28 2 =784 см 2

Подбираем прямоугольное сечение с отношением сторон h / b=2
W_min=585000 / 160 = 3656 см 3
Момент сопротивления прямоугольного сечения
W=b×h 2 / 6 = b 3 × 2 2 / 6 = b 3 ×0.67
b 3 =3656 / 0.67=5457
Ширина сечения b=17.6 см, Высота сечения h=b×2=17.6×2=35.2 см
Площадь сечения A=b×h=17.6×35.2=619.52 см 2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 6×M_max/b×h 2 = 6×585000/17.6×35.2 2 = 160.96 МПа
Максимальные касательные напряжения для прямоугольника составляют
τ_max = 3Q_max/2A = 3×292000/2×619.52×100 = 7.07 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для прямоугольного сечения:

Записываем уравнения углов поворота и прогибов по методу начальных параметров

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 4 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ_{+ R_A·z 2 /2 – P·(z – 2) 2 /2 – q₁·(z – 2) 3 /6}

На участке CD: (4 ≤ z₃ ≤ 5 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ_{+ R_A·z 2 /2 – P·(z – 2) 2 /2 – q₁·(z – 2) 3 /6 + q₁·(z – 4) 3 /6}

На участке DE: (5 ≤ z₄ ≤ 6 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ_{+ R_A·z 2 /2 – P·(z – 2) 2 /2 – q₁·(z – 2) 3 /6 + q₁·(z – 4) 3 /6 – M· (z – 5)}

EJ×v(z) = EJ×v_{+ EJ×φ_{×z + R_A·z 3 /6 – P·(z – 2) 3 /6 – q₁·(z – 2) 4 /24 + q₁·(z – 4) 4 /24 – M· (z – 5) 2 /2}}

Из условий закрепления по этим уравнениям вычислим начальные параметры:

– начальный угол поворота φ_{= -994.1 кНм 2}

– начальный прогиб балки v_{= 0 кНм 3}

Найдем углы поворота и прогибы сечений на каждом участке

Расчет балки онлайн

Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких — приведены все формулы определения необходимых значений.

Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки — максимальные значения.

>>> Перейти к расчету балки на двух опорах <<<

Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки — максимальные значения.

>>> Перейти к расчету консольной балки <<<

Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.

Рис.1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке

Рис.2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках

Рис.3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис4. Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис5. Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента

Расчет балок с жестким защемлением на двух опорах

Рис6. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке

Рис7. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках

Рис8. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис9. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис10.Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента

Расчет консольных балок

Рис11. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке

Рис12. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис13. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис14. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента

Расчет двухпролетных балок

Рис15. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке

Рис16. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис17. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Составные балки и перемещения при изгибе (Лекция №21)

ПОНЯТИЕ О СОСТАВНЫХ БАЛКАХ

Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из них деформируется как отдельная балка, имеющая свой нейтральный слой (рис. 1, а). Нагрузка между этими балками распределяется пропорционально их жесткостям при изгибе (в данном примере поровну). Это означает, что моменты инерции и моменты сопротивления трех независимо друг от друга деформирующихся балок должны быть просуммированы

Если скрепить балки сваркой, болтами или другим способом (рис. 1, б), то с точностью до пренебрежения податливостью наложенных связей сечение балки будет работать как монолитное с моментом инерции и моментом сопротивления, равным

Как видно, при переходе к монолитному сечению жесткость балки возрастает в девять раз, а прочностьв три раза. В инженерной практике наиболее распространены сварные двутавровые балки.

б)

а) несвязанная конструкция, б) связанная сварная конструкция
Рис.1. Расчетные схемы составных балок:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОГО ИЗГИБА ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ

Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезисом можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба стержня. Однако для практических целей кроме кривизны необходимо определить вертикальные перемещения центров тяжести отдельных поперечных сечений прогибов балки v, а иногда и углы поворота этих сечений (рис. 2). Вследствие гипотезы плоских сечений угол поворота сечения ( оказывается равным углу наклона касательной к изогнутой оси балки, который в силу малости

(1)

Тогда возникает геометрическая задача: составить уравнение для функции прогиба , зная закон изменения ее кривизны.

Рис.2. Расчетная схема определения перемещений при изгибе

Воспользуемся известным из дифференциальной геометрии выражением для кривизны в прямоугольных декартовых координатах:

(2)

Однако, учитывая, что в инженерной практике применяются достаточно жесткие балки, для которых наибольший прогиб f (рис.2) мал по сравнению с длиной (f / l << 1), а первая производная от прогиба имеет порядок

и, следовательно, величиной (dv / dz)²<<1, стоящей в знаменателе (2), можно пренебречь, выражение для кривизны упрощается

(3)

Тогда, подставив это выражение в полученную ранее связку кривизны и изгибающего мометна , условившись что ось Oy направлена вверх и согласовав знаки и М_х, приходим к дифференциальному уравнению прямого изгиба балки

(4)

известному также как дифференциальное уравнение упругой кривой.

Если учесть точное выражение для кривизны по формуле (2), то точное уравнение упругой кривой

является нелинейным дифференциальным уравнением. Поэтому линейное дифференциальное уравнение, описывающее малые прогибы балки, иногда называют линеаризованным уравнением упругой кривой.

Решение уравнения получаем путем двукратного почленного интегрирования. При первом интегрировании получаем выражение

(5)

которое с учетом , дает также закон изменения углов поворота поперечных сечений по длине балки. Повторным интегрированием получаем функцию прогиба

(6)

Постоянные интегрирования С и D должны быть найдены из граничных условий.

Во всех приведенных выше уравнениях функция изгибающего момента М_х(г) предполагалась известной, что возможно лишь для статически определимых балок. Простейшие варианты статически определимых однопролетных балок и соответствующие граничные условия показаны на рис. 3. Условия, накладываемые на прогиб и угол поворота сечения, получили название кинематических граничных условий. Как видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы прогиб на опорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки прогиб и угол поворота сечения в заделке

Рис.3. Примеры граничных условий: а) двухопорная, б) консольная балки

Дифференциальное уравнение неприменимо для расчета статически неопределимых балок, так как содержит неизвестный изгибающий момент М_x появившийся в результате двукратного интегрирования уравнения четвертого порядка

(7)

В этом уравнении нагрузка q известна, поэтому его можно получить, учитывая, что

При интегрировании уравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом конце балки) в том числе так называемые силовые граничные условия условия, накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу), которые выражаются через производные от прогиба. Так как

а с учетом дифференциального соотношения Q_y=dM_x/dz, получаем

(8)

Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых правая часть уравнения исходного f(z)=M_x/EJ_x, содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 4 приведена эпюра М_x, содержащая п участков. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений dv/dz на этих границах

получим 2п граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования.

Рис.4. Расчетная схема балки, содержащая n углов

Рекомендую для практики решения дифференциальных уравнений второго порядка воспользоваться системой входных тестов Т-4, приведенных в ПРИЛОЖЕНИИ.

Дальше…

Методическое руководство к лабораторной работе «Определение прогиба консольной балки при прямом изгибе»

Министерство образования и науки Республики Калмыкия

БПОУ РК «Элистинский политехнический колледж»

к выполнению лабораторной работы

по Технической механике

Тема: «Определение прогиба консольной балки при прямом изгибе»

Преподаватель Мальченко Л.Э.

Цель работы

Сравнение результатов расчётного и экспериментального определения прогибов балки.

Теоретическое обоснование

Под действием внешней нагрузки ось балки искривляется и проис-ходит перемещение сечений балки (рис.1а).

Прогиб балки – перемещение сечения балки в вертикальном нап-равлении.

Прогиб определяется с помощью интеграла Мора:

где: — функция изгибающего момента от внешней нагрузки;

— функция изгибающего момента от единичной силы, приложенной в месте определения прогиба;

— модуль продольной упругости материала балки;

— осевой момент инерции сечения балки.

Вычисление интеграла Мора удобнее выполнять графо-аналитическим способом, называемым правилом Верещагина.

По правилу Верещагина функции , , заменяются эпюрами изгибающих моментов: от внешней нагрузки — и от единичной силы -. Операция интегрирования заменяется операцией перемножения эпюр (см. рис.1б, в, г):

где: — площади — той части эпюры ;

, — ординаты эпюр под центрами тяжести площадей .

Рассмотрим консольную балку, нагруженную на расстоянии от опоры сосредоточенной вертикальной силой (см.рис.1). Найдём прогиб балки на расстоянии от той же опоры. При этом будем считать, что .

Строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки (см.рис.1б).

Изгибающие моменты:

Прикладываем к балке в сечении D единичную силу и строим эпюру (см.рис.1в).

Изгибающие моменты:

Разбиваем эпюру на простейшие фигуры по границам участков (см.рис.1б) и определяем площади этих фигур:

A D C B

а)

б) Эпюра

в)

Эпюра

Рис.1.

Определим ординаты на эпюре под центрами тяжести площадей на эпюре

Перемножая эпюры по правилу Верещагина, получим формулу для вычисления прогиба при :

(1)

Выполнив аналогичные преобразования при получим следующую формулу:

(2)

Порядок выполнения работы
1. Студент получает от преподавателя индивидуальное задание,

обмеряет модель балки и данные заносит в таблицу 1.

Таблица 1

Номер модели балки

Матери-ал балки

Длина пролёта балки

, мм

Размеры сечения балки

, мм

Внеш-

няя

нагру-

зка

, н

Координа- та сечения, где замеря- ется прогиб , мм

Координа-та сечения, где приложена нагрузка

, мм

3.2. Исходя из соотношения величин и , студент выбирает нужную ему формулу и по ней вычисляет расчётный прогиб .

1. Модель балки устанавливается на стенд, нагружается по заданной схеме и замеряется экспериментальный прогиб .

1. Оценивается сходимость результатов расчёта и эксперимента по формуле:

3.5.Составляется и оформляется отчёт по лабораторной работе по форме, приведённой в Приложении.

Контрольные вопросы

Что мы называем прогибом балки?
Что такое – интеграл Мора?
Сформулируйте правило Верещагина.
Что это такое — единичная сила и где она прикладывается?
Что мы называем эпюрой изгибающих моментов?
Как найти произведение двух эпюр?
Каким прибором замеряется прогиб балки?

Приложение

о выполнении лабораторной работы

по Технической механике на тему:

«Определение прогиба консольной балки при прямом изгибе»

Выполнил: студент группы ______________

ФИ

Проверил: Мальченко Л.Э.

1.Цель работы – сравнение результатов расчётного и эксперимен-тального определения прогиба консольной балки.

2.Задание на работу

Таблица 1

Номер модели балки

Матери-ал балки

Длина пролёта балки

, мм

Размеры сечения балки

, мм

Внеш-

няя

нагру-

зка

, н

Координа- та сечения, где замеря- ется прогиб , мм

Координа-та сечения, где приложена нагрузка

, мм

Ст 08

700

825

300

500

3.Расчёт

Осевой момент инерции сечения балки

Модуль продольной упругости для Ст 08

Так как , то используем формулу (1)

4. Эксперимент

5.Сходимость результатов расчёта и эксперимента

Расчет балки на изгиб | Блог Александра Воробьева

Опубликовано 28 Апр 2013
Рубрика: Механика | 94 комментария

Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные…

…– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.

Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.

Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?

Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.

Исходные данные:

F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики

b1 = 0 м

b2 = 0,6 м

b3 = 1,2 м

d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка

E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3

[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки стали Ст3

Граничные условия:

Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)

Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)

V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)

V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)

Расчет:

1.2

По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров.

Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора ПОДПИСАТЬСЯ на анонсы статей.

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Консольные балки — моменты и прогиб

Консольные балки — одиночная нагрузка на конце

Максимальная сила реакции

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = F (1a)

, где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

F = сила одностороннего действия в B (Н, фунт)

Максимальный момент

на неподвижном конце может быть выражается как

M _max = M _A

= — FL (1b)

где

M _A = максимальный момент в A (Нм, Нмм, фунт-дюйм)

L = длина балки (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

на конце консольной балки можно выразить как

δ _B = FL ³ / (3 EI) (1c)

где

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

E = модуль упругости эластичность (Н / м ² (Па), Н / мм ², фунт / дюйм ² (psi))

I = момент инерции (м ⁴, мм ⁴, дюйм ⁴)

b = длина между B и C (м, мм, дюйм)

Напряжение

Напряжение в изгибающейся балке можно выразить как

σ = y M / I ( 1d)

, где

σ = напряжение (Па (Н / м ²), Н / мм ², psi)

y = расстояние до точки от нейтральной оси (м, мм , дюйм)

M = изгибающий момент (Нм, фунт-дюйм)

I = момент инерции (м ⁴, мм ⁴, в ⁴)

Максимальный момент консольной балки находится в фиксированной точке, а максимальное напряжение может быть вычислено путем объединения 1b и 1d по

σ _max = y _max FL / I (1e)

Пример — консольная балка с одинарной нагрузкой на конце, метрические единицы

Максимальный момент на неподвижном конце UB 305 x 127 x 42 балка стальная полка консольная балка 5000 мм длинная, с моментом инерции 8196 см ⁴ (81960000 мм ⁴) , модуль упругости 200 ГПа (200000 Н / мм ² ) и с одинарной нагрузкой 3000 Н в конце можно рассчитать как

M _max = (3000 Н) (5000 мм)

= 1.5 10 ⁷ Нмм

= 1,5 10 ⁴ Нм

Максимальный прогиб на свободном конце можно рассчитать как

δ _B = (3000 Н) (5000 мм) ³ / (3 (2 10 ⁵ Н / мм ²) (8,196 10 ⁷ мм ⁴))

= 7,6 мм

Высота балки 300 мм и расстояние от крайней точки до нейтральной оси 150 мм .Максимальное напряжение в балке можно рассчитать как

σ _max = (150 мм) (3000 Н) (5000 мм) / ( 8,196 10 ⁷ мм ⁴ )

= 27,4 (Н / мм ²)

= 27,4 10 ⁶ (Н / м ², Па)

= 27,4 МПа

Максимальное напряжение ниже предела прочности при растяжении прочность для большинства сталей.

Консольная балка — одиночная нагрузка

Максимальная сила реакции

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = F (2a)

где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

F = сила одностороннего действия в B (Н, фунт)

Максимальный момент

на неподвижном конце может быть выражен как

M _max = M _A

= — F a (2b)

где

M _A = максимальный момент в A (Н.m, N.mm, lb.in)

a = длина между A и B (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

на конце консольной балки можно выразить как

δ _C = (F a ³ / (3 EI)) (1 + 3 b / 2 a) (2c)

где

δ _C = максимальный прогиб в C (м, мм , дюйм)

E = модуль упругости (Н / м ² (Па), Н / мм ², фунт / дюйм ² (psi))

I = момент инерции ( м ⁴, мм ⁴, дюйм ⁴)

b = длина между B и C (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

под действием единой силы может быть выражено как

δ _B = F a ³ / (3 EI) (2d)

где e

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение может быть рассчитано путем объединения 1d и 2b до

σ _max = y _max F a / I (2e)

Консольная балка — калькулятор одиночной нагрузки

Общий калькулятор — будьте последовательны и используйте метрические значения на основе м или мм или британские значения на основе дюймов.Стандартные значения в миллиметрах.

F — Нагрузка (Н, фунт)
a — Длина балки между A и B (м, мм, дюйм)
b — Длина балки между B и C (м, мм, дюйм)
I — момент инерции (м ⁴, мм ⁴, дюйм ⁴)
E — модуль упругости (Н / м ², Н / мм ² , psi)
y — Расстояние от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

Консольная балка — равномерно распределенная нагрузка

Максимальная реакция

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = q L (3a)

, где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

q = равномерно распределенная нагрузка (Н / м, Н / м) мм, фунт / дюйм)

L = длина консольной балки (м, мм, дюйм)
9 0015

Максимальный момент

на фиксированном конце можно выразить как

M _A = — q L ²/2 (3b)

Максимальный прогиб

в конце можно выразить как

δ _B = q L ⁴ / (8 EI) (3c)

где

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

Консольная балка — Калькулятор равномерной нагрузки

Универсальный калькулятор — используйте метрические значения на основе м или мм или имперские значения на основе дюймов.Стандартные значения в миллиметрах.

q — Равномерная нагрузка (Н / м, Н / мм, фунт / дюйм)
L — Длина балки (м, мм, дюйм)
I — Момент инерции (м ⁴, мм ⁴, дюйм ⁴)
E — Модуль упругости (Па, Н / мм ², psi)
y — Расстояние от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

Более одной точечной нагрузки и / или равномерной нагрузки, действующей на консольную балку

Если на консольную балку действует более одной точечной нагрузки и / или равномерная нагрузка — результирующий максимальный момент на фиксированном конце A и результирующий максимальный прогиб на конце B может быть рассчитан путем суммирования максимального момента в A и максимального прогиба в B для каждой точки и / или равномерной нагрузки.

Консольная балка — уменьшающаяся распределенная нагрузка

Максимальная сила реакции

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = q L / 2 (4a)

где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

q = уменьшающаяся распределенная нагрузка — максимальное значение при A — ноль при B (Н / м, фунт / фут)

Максимальный момент

при фиксированный конец может быть выражен как

M _max = M _A

= — q L ²/6 (4b)

, где

M _A = максимум момент в A (N.м, Нмм, фунт / дюйм)

L = длина балки (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

на конце консольной балки можно выразить как

δ _B = q L ⁴ / (30 EI) (4c)

где

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

E = модуль упругости ( Н / м ² (Па), Н / мм ², фунт / дюйм ² (psi))

I = момент инерции (м ⁴, мм ⁴, дюйм ⁴)

Вставьте балки в модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox Sketchup Extension

Калькулятор отклонения консольной балки

Калькулятор отклонения консольной балки для определения сил, моментов, напряжений, прогибов и уклонов консольной балки
для множественных точечных нагрузок, распределенных нагрузок и сосредоточенных моментов.

Примечание. Используйте точку «.» как десятичный разделитель.

Примечание *: P имеет положительное значение в направлении вниз, как показано на рисунке, и отрицательное значение.
в восходящем направлении. M положительно по часовой стрелке, как показано на
фигура. w _a и w _b положительны в направлении вниз, как показано на рисунке, и отрицательны.
в восходящем направлении.

Примечание **: Второй момент расчета площади несущих балок см. На странице »
Калькуляторы сечений ».

ВХОДНАЯ НАГРУЗКА НА КОНСОЛЬНУЮ БАЛКУ
ТОЧЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ

КОНЦЕНТРИРОВАННЫЕ МОМЕНТЫ

РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ НАГРУЗКИ

РЕЗУЛЬТАТЫ

Param.	Значение
Сила реакции 1 [R ₁]	—	NkNlbf
Сила реакции 2 [R ₂]	—
Поперечное поперечное усилие на расстоянии x [V _x]	—
Максимальное поперечное усилие сдвига [V _max]	—
Момент реакции 1 [M ₁]	—	Н * мкН * млбф * дюйм фунт-сила * фут
Момент реакции 2 [M ₂]	—
Момент на расстоянии x [M _x]	—
Максимальный момент [M _max]	—
Наклон 1 [θ ₁]	—	радианградус, arcminarcsec,
Наклон 2 [θ ₂]	—
Наклон на расстоянии x [θ _x]	—
Максимальный наклон [θ _макс]	—
Концевой прогиб 1 [y ₁]	—	ммминчфт
Концевой прогиб 2 [y ₂]	—
Прогиб на расстоянии x [y _x]	—
Максимальный прогиб [y _max]	—
Напряжение изгиба на расстоянии x [σ _x]	—	МПапсикси
Максимальное напряжение изгиба [σ _макс]	—	МПапсикси

Примечание *: R ₁ и R ₂ — это вертикальные концевые реакции слева и справа, соответственно, и положительные вверх.Сдвиговые силы и прогибы положительны в направлении вверх и отрицательны.
в нисходящем направлении. M ₁ и M ₂ — конечные моменты реакции слева и справа соответственно. Все моменты положительны при создании сжатия на верхней части поперечины балки.
раздел. Все наклоны положительные, когда вверх и вправо.

Примечание. Напряжения — это положительные числа, и это величины напряжений в
луч.Он не делает различий между растяжением и сжатием конструкции.
луч. Это различие зависит от того, с какой стороны нейтральной плоскости луча вход
соответствует.

Наклон

Прогиб

Момент

Усилие сдвига

Распределенная нагрузка: Нагрузка, которая действует равномерно на элемент конструкции или на поверхность, которая поддерживает нагрузку.

Фиксированная опора: Фиксированная опора может выдерживать вертикальные и горизонтальные силы, а также момент. Поскольку они ограничивают как вращение, так и поступательное движение, их также называют жесткими опорами.

Штифтовая опора: Штифтовая опора сопротивляется как вертикальным, так и горизонтальным силам, но не моменту. Они позволят элементу конструкции вращаться, но не перемещаться в любом направлении.
Штифтовое соединение могло допускать вращение только в одном направлении; обеспечение сопротивления вращению в любом другом направлении.

Роликовая опора: Роликовые опоры могут свободно вращаться и перемещаться вдоль поверхности, на которой опирается валик.
Результирующая сила реакции всегда представляет собой единую силу, перпендикулярную поверхности. Роликовые опоры обычно расположены на одном конце длинных перемычек, чтобы обеспечить расширение и сжатие конструкции из-за изменений температуры.

Консольная балка: Консольная балка — это балка, закрепленная только на одном конце.

Конструкционная балка: Конструктивный элемент, выдерживающий нагрузки и моменты. Общие формы: прямоугольные сечения, двутавры, широкие полки и швеллеры.

Калькулятор для инженеров — уклон и прогиб консоли

Отличные калькуляторы

Калькулятор преобразования напряжения
Расчет главного напряжения, максимального напряжения сдвига и их плоскостей

Калькулятор для анализа подвижной нагрузки
Для определения абсолютного макс.Б.М. из-за движущихся грузов.

Калькулятор изгибающего момента
Расчет изгибающего момента и поперечной силы для балки с прямой опорой

Вычислитель момента инерции
Вычислить момент инерции плоских сечений, например, швеллер, угол, тройник и т. д.

Калькулятор железобетона
Расчет прочности железобетонной балки

Калькулятор распределения моментов
Решение неопределенных балок

Калькулятор прогиба и уклона
Расчет прогиба и уклона свободно опертой балки для многих случаев нагружения

Калькулятор фиксированной балки
Инструмент для расчета изгибающего момента и поперечной силы для фиксированной балки для многих случаев нагружения

Калькулятор BM и SF для консоли
Расчет SF и BM для консоли

Калькулятор прогиба и наклона консоли
Для многих случаев нагружения консоли

Вычислитель выступающей балки
Для SF и BM многих случаев нагружения выступающей балки

Дополнительные ссылки

Викторина по гражданскому строительству
Проверьте свои знания по различным темам гражданского строительства

Научные статьи
Научные статьи, диссертации и диссертации

Небоскребы мира
Высокие здания мира

Предстоящие конференции
Список конференций, семинаров и практикумов по гражданскому строительству

Профиль инженеров-строителей
Познакомьтесь с выдающимися инженерами-строителями

Профессиональные общества
Международные профессиональные общества инженеров-строителей

Продолжайте посещать, чтобы получать обновления или присоединяйтесь к нашему списку рассылки, чтобы получать обновления

Поищите на нашем сайте больше…

Расскажите о нас друзьям

Другие полезные ссылки

1.7: Прогиб балок — геометрические методы

Глава 7

Прогиб балок: геометрические методы

7.1 Введение

Требования к эксплуатационной пригодности ограничивают максимальный прогиб, допустимый в элементе конструкции, подвергающемся внешней нагрузке. Чрезмерное отклонение может привести к дискомфорту при заполнении данной конструкции, а также может испортить ее эстетику.Большинство норм и стандартов обеспечивают максимально допустимый прогиб для статических нагрузок и наложенных временных нагрузок. Чтобы гарантировать, что возможный максимальный прогиб, который может возникнуть при данной нагрузке, находится в пределах допустимого значения, структурный компонент обычно анализируется на предмет прогиба, а определенное максимальное значение прогиба сравнивается с указанными значениями в нормах и стандартах практики.

Существует несколько методов определения прогиба балки или рамы. Выбор конкретного метода зависит от характера нагрузки и типа решаемой проблемы.Некоторые из методов, используемых в этой главе, включают метод двойного интегрирования, метод функции сингулярности, метод момента-площади, метод единичной нагрузки, метод виртуальной работы и методы энергии.

7.2 Вывод уравнения упругой кривой балки

Упругая кривая балки — это ось отклоненной балки, как показано на рисунке 7.1a.

Рис. 7.1. Упругая кривая балки.

Чтобы вывести уравнение упругой кривой балки, сначала выведите уравнение изгиба.

Рассмотрим часть cdef балки, показанную на рис. 7.1a, подверженную действию чистого момента M для вывода уравнения изгиба. Из-за приложенного момента M волокна выше нейтральной оси балки будут удлинены, а волокна ниже нейтральной оси — укорачиваются. Пусть O будет центром, а R будет радиусом кривизны балки, и пусть ij будет осью изогнутой балки. Луч проходит под углом ° при ° .И пусть σ будет продольным напряжением в нити g80 на расстоянии y от нейтральной оси.

Исходя из геометрии, длина нейтральной оси балки ij и длина нити накала gℎ , расположенной на расстоянии y от нейтральной оси балки, могут быть вычислены следующим образом:

Деформацию ε в нити можно рассчитать следующим образом:

Для линейно-упругого материала, к которому применяется закон Гука, уравнение 7.1 можно записать так:

Если элементарный участок δA на расстоянии y от нейтральной оси балки (см. Рисунок 7.1c) подвергается изгибающему напряжению σ , сила элемента на этом участке может быть вычислена следующим образом:

Сила, действующая во всем поперечном сечении балки, становится равной:

Исходя из статического равновесия, внешний момент M в балке уравновешивается моментами вокруг нейтральной оси внутренних сил, возникающих в секции балки.Таким образом,

Подстановка из уравнения 7.2 в уравнение 7.5 дает следующее:

Если положить I = ∫ y ² δA в уравнение 7.6, мы получим следующее:

где

I = момент инерции или второй момент площади сечения.

Объединение уравнений 7.2 и 7.7 дает следующее:

Уравнение упругой кривой балки можно найти, используя следующие методы.

Из дифференциального исчисления кривизну в любой точке кривой можно выразить следующим образом:

где

— первая и вторая производная функции, представляющей кривую в декартовых координатах x и y .

Поскольку балка на рис. 7.1 предполагается однородной и ведет себя линейно-упругой, ее прогиб при изгибе невелик. Следовательно, величина, которая представляет наклон кривой в любой точке деформированной балки, также будет небольшой.Поскольку это ничтожно незначительно, уравнение 7.9 можно упростить следующим образом:

Объединение уравнений 7.2 и 7.10 дает следующее:

Преобразование уравнения 7.11 дает следующее:

Уравнение 7.12 называется дифференциальным уравнением упругой кривой балки.

7.3 Прогиб методом двойного интегрирования

Отклонение путем двойного интегрирования также называется отклонением методом прямого или постоянного интегрирования.Этот метод влечет за собой получение отклонения балки путем двукратного интегрирования дифференциального уравнения упругой кривой балки и использования граничных условий для определения постоянных интегрирования. Первое интегрирование дает наклон, а второе интегрирование дает отклонение. Этот метод лучше всего использовать при непрерывной прикладываемой нагрузке.

Пример 7.1

Консольная балка подвергается комбинированной нагрузке, как показано на рисунке 7.2a. Используя метод двойного интегрирования, определите наклон и прогиб на свободном конце.

Рис. 7.2. Консольная балка.

Решение

Уравнение для изгибающего момента. Пройдя секцию на расстоянии x от свободного конца балки, как показано на схеме свободного тела на рис. 7.2b, и учитывая момент справа от секции, можно получить следующее:

Подстановка M в уравнение 7.12 дает следующее:

Уравнение для наклона. Интегрирование относительно x дает следующее:

Обратите внимание на то, что на фиксированном конце это называется граничным условием.Применение этих граничных условий к уравнению 3 предполагает следующее:

Чтобы получить следующее уравнение наклона, подставьте вычисленное значение C ₁ в уравнение 3 следующим образом:

Уравнение прогиба. Интегрирование уравнения 4 дает следующее:

На фиксированном конце x = L , y = 0. Применение этих граничных условий к уравнению 5 дает следующее:

Чтобы получить следующее уравнение упругой кривой, подставьте вычисленное значение C ₂ в уравнение 5 следующим образом:

Уклон на свободном конце, т.е.е., при x = 0

Прогиб на свободном конце, то есть y при x = 0

Пример 7.2

Балка с простой опорой AB несет равномерно распределенную нагрузку 2 тысячи фунтов / фут по своей длине и сосредоточенную нагрузку 10 тысяч фунтов в середине своего пролета, как показано на рис. 7.3a. Используя метод двойного интегрирования, определите наклон в опоре A и прогиб в средней точке C балки.

Рис. 7.3. Балка с простой опорой.

Решение

Поддерживающие реакции.

тысяч фунтов по симметрии

Уравнение для изгибающего момента. Момент на участке на расстоянии x от опоры A , как показано на диаграмме свободного тела на рисунке 7.3b, записывается следующим образом:

Подстановка M в уравнение 7.12 дает следующее:

Уравнение для наклона.Интегрирование уравнения 2 относительно x дает следующее:

Константа интегрирования C ₁ оценивается с учетом граничного условия.

Применение вышеуказанных граничных условий к уравнению 3 предполагает следующее:

Возвращение вычисленного значения C ₁ в уравнение 3 дает следующее:

Уравнение прогиба.Интегрирование уравнения 4 дает следующее:

Константа интегрирования C ₂ оценивается с учетом граничного условия.

При x = 0, y = 0

0 = 0 — 0 — 0 + С ₂

С ₂ = 0

Перенос вычисленного значения C ₂ обратно в уравнение 5 предлагает следующее уравнение упругой кривой:

Склон на

Прогиб в средней точке

Пример 7.3

Балка несет распределенную нагрузку, которая изменяется от нуля на опоре A до 50 кН / м на ее выступающем конце, как показано на рисунке 7.4a. Напишите уравнение упругой кривой для сегмента AB балки, определите уклон в опоре A и определите прогиб в точке балки, расположенной на расстоянии 3 м от опоры A .

Рис. 7.4. Луч.

Решение

Поддерживающие реакции. Чтобы определить реакции балки, примените следующие уравнения равновесия:

Уравнение для изгибающего момента.Момент на участке на расстоянии x от опоры A , как показано на диаграмме свободного тела на рис. 7.4b, равен:

Подстановка M в уравнение 7.12 дает следующее:

Уравнение для наклона. Интегрирование уравнения 2 относительно x дает следующее:

Уравнение прогиба. Интегрирование уравнения 3 дает следующее уравнение прогиба:

Чтобы оценить константы интегрирования, примените следующие граничные условия к уравнению 4:

При x = 0, y = 0

0 = 0 — 0 + 0 + С ₂

С ₂ = 0

При x = 6 м, y = 0

C ₁ = –65.82

Уравнение упругой кривой.

Теперь можно определить уравнение упругой кривой, подставив C ₁ и C ₂ в уравнение 4.

Чтобы получить уравнения наклона и прогиба, подставьте вычисленное значение C ₁ и C ₂ обратно в уравнения 3 и 4:

Уравнение наклона.

Уравнение прогиба.

Прогиб при x = 3 м от опоры A .

7.4 Прогиб методом функции сингулярности

В случаях, когда балка подвергается воздействию комбинации распределенных нагрузок, сосредоточенных нагрузок и моментов, использование метода двойного интегрирования для определения прогибов таких балок действительно сопряжено с трудностями, поскольку различные сегменты балки представлены несколькими функциями момента , и требуется много вычислительных усилий, чтобы найти константы интегрирования. Использование метода функции сингулярности в таких случаях для определения прогибов сравнительно проще и относительно быстро.Этот метод анализа был впервые введен Маколеем в 1919 году, и он влечет за собой использование одного уравнения, которое содержит функцию сингулярности или половинного диапазона для описания всей кривой отклонения луча. Функция сингулярности или полупериода определяется следующим образом:

где

x = координаты точки вдоль балки.

a = любое место вдоль балки, где возникает разрыв из-за изгиба.

n = экспоненциальные значения функций; это всегда должно быть больше или равно нулю, чтобы функции были действительными.

Приведенное выше определение подразумевает, что величина ( x — a ) равна нулю или исчезает, если она отрицательна, но равна ( x — a ), если она положительна.

Процедура анализа методом функции сингулярности

• Нарисуйте схему свободного тела балки и установите координаты x и y .

• Рассчитайте реакции опоры и запишите уравнение момента как функцию координаты x .Условные обозначения знаков на данный момент такие же, как в разделе 4.3.

• Подставьте выражение момента в уравнение упругой кривой и проинтегрируйте один раз, чтобы получить наклон. Снова выполните интегрирование, чтобы получить отклонение в балке.

• Используя граничные условия, определите константы интегрирования и подставьте их в уравнения, полученные на шаге 3, чтобы получить наклон и прогиб балки. Положительный наклон — против часовой стрелки, отрицательный — по часовой стрелке, положительный наклон — вверх, а отрицательный — вниз.

• При вычислении уклона или прогиба в любой точке балки отбросьте величину ( x — a ) из уравнения для уклона или прогиба, если оно отрицательное. Если ( x — a ) положительное значение, оно остается в уравнении.

Пример 7,4

Балка с простой опорой подвергается комбинированной нагрузке, показанной на рисунке 7.5a. Используя метод функции сингулярности, определите наклон в точке опоры A и прогиб в точке B .

Рис. 7.5. Балка с простой опорой.

Решение

Поддерживающие реакции. Чтобы определить реакцию на опоре A балки, примените следующие уравнения равновесия:

Изгибающий момент. Заменив данную распределенную нагрузку двумя эквивалентными нагрузками с открытым концом, как показано на рисунке 7.5b, изгибающий момент в секции, расположенной на расстоянии x от левой опоры A , можно выразить следующим образом:

Уравнение упругой кривой.Подстановка M ( x ) из уравнения 1 в уравнение 7.12 дает следующее:

Двойное интегрирование уравнения 2 дает следующее:

Граничные условия и вычисление постоянных интегрирования. Применение граничных условий [ x = 0, y = 0] к уравнению 4 и отметка, что каждая скобка содержит отрицательную величину и, таким образом, равна нулю согласно определению сингулярности, предполагает, что C ₂ = 0 .

0 = 0 — 0 + 0 — 0 + С ₂

С ₂ = 0

Снова, применяя граничные условия [ x = 8, y = 0] к уравнению 4 и отмечая, что каждая скобка содержит положительную величину, предполагает, что значение константы C ₁ будет следующим:

Подстановка значений для C ₁ и C ₂ в уравнение 4 позволяет предположить, что выражение для упругой кривой балки будет следующим:

Аналогичным образом, подстановка значений для C ₁ в уравнение 3 предполагает, что выражение для наклона будет следующим:

Склон на

Прогиб при x = 4.5 м от опоры A

Пример 7.5

Консольная балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой 4 тысячи фунтов / фут, как показано на рисунке 7.6a. Используя метод функции сингулярности, определите уравнение упругой кривой балки, уклон на свободном конце и прогиб на свободном конце.

Рис. 7.6. Консольная балка.

Решение

Поддерживающие реакции. Чтобы определить реакцию на опоре A балки, примените уравнение равновесия, как показано ниже:

Изгибающий момент.Изгибающий момент в секции, расположенной на расстоянии x от закрепленного конца балки, показанной на рисунке 7.6b, можно выразить следующим образом:

Уравнение упругой кривой. Подстановка M ( x ) из уравнения 1 в уравнение 7.12 дает следующее:

Двойное интегрирование уравнения 2 дает следующее:

Граничные условия и вычисление постоянных интегрирования. Применение граничных условий к уравнению 3 и с учетом того, что член со скобкой содержит отрицательную величину и, таким образом, равен нулю по определению функции сингулярности, предполагает, что C ₁ = 0.

Применяя граничные условия [ x = 0, y = 0] к уравнению 4 и отмечая, что член со скобкой содержит отрицательную величину и, таким образом, равен нулю согласно определению функции сингулярности, предполагает, что C ₂ = 0.

Чтобы найти упругую кривую балки, подставьте значения для C ₁ и C ₂ в уравнение 4 следующим образом:

Аналогичным образом, чтобы найти выражение для наклона, подставьте значения для C ₁ в уравнение 3 следующим образом:

Пример 7.6

Балка с выступом подвергается комбинированной нагрузке, как показано на рисунке 7.7a. Используя метод функции сингулярности, определите наклон в точке опоры A и прогиб в точке B .

Рис. 7.7. Балка с вылетом.

Решение

Поддерживающие реакции. Чтобы определить реакцию на опоре A балки, примените следующие уравнения равновесия:

Изгибающий момент.Заменив данную распределенную нагрузку двумя эквивалентными нагрузками с открытым концом и изменив момент, как показано на рисунке 7.7b, изгибающий момент в секции, расположенной на расстоянии x от левой опоры A , можно выразить как следует:

Уравнение упругой кривой. Подстановка M ( x ) из уравнения 1 в уравнение 7.12 дает следующее:

Двойное интегрирование уравнения 2 дает следующее:

Граничные условия и вычисление постоянных интегрирования.Применение граничных условий [ x = 0, y = 0] к уравнению 4 и отметка, что каждая скобка содержит отрицательную величину и, таким образом, равна нулю согласно определению сингулярности, предполагает, что C ₂ = 0.

0 = 0 + 0 — 0 + 0 + 0 + 0 + С ₂

С ₂ = 0

Опять же, применяя граничные условия [ x = 8m, y = 0] к уравнению 4 и отмечая, что каждая скобка содержит положительную величину, предполагает, что значение константы C ₁ будет следующим:

Подстановка значений для C ₁ и C ₂ в уравнение 4 предполагает, что выражение для упругой кривой балки выглядит следующим образом:

Аналогичным образом, подстановка значений для C ₁ в уравнение 3 предполагает, что выражение для наклона выглядит следующим образом:

Склон на

Прогиб при x = 2 м от опоры A

7.5 Прогиб методом моментной площади

В методе момент-площадь используется площадь момента, разделенная на диаграмму жесткости при изгибе ( M / EI ) балки для определения прогиба и наклона балки. В этом методе используются две теоремы, которые выводятся ниже.

7.5.1 Теорема о первом моменте и площади

Чтобы вывести первую теорему момент-площадь, рассмотрим участок AB упругой кривой отклоненной балки, показанной на рис. 7.8b. Балка имеет радиус кривизны R .На рисунке 7.8c показан изгибающий момент этой части. Согласно геометрии, длина дуги ds радиуса R , проходящей под углом dθ , равна произведению радиуса кривизны и угла примыкания. Следовательно,

Перестановка уравнения 1 дает следующее:

Рис. 7.8. Отклоненный луч.

Подстановка уравнения 7.14 в уравнение 7.8 дает следующее:

Поскольку ds бесконечно мал из-за небольшого бокового отклонения балки, допустимого в технике, его можно заменить горизонтальной проекцией dx .Таким образом,

Таким образом, угол θ между касательными в точках A и B может быть получен путем суммирования стянутых углов по бесконечно малой длине, лежащей между этими точками. Таким образом,

Уравнение 7.17 называется первой теоремой момента-площади. Согласно первой теореме момент-площадь, полное изменение наклона между A и B равно площади диаграммы изгибающего момента между этими двумя точками, деленной на жесткость при изгибе EI .

7.5.2 Теорема о втором моменте и площади

Снова обращаясь к рисунку 7.8, необходимо определить тангенциальное отклонение точки B относительно точки A , которое представляет собой вертикальное расстояние точки B от касательной, проведенной к упругой кривой в точке A. . Для этого сначала вычислите вклад δ ∆ элемента длиной dL в вертикальное расстояние. По геометрии

Подставляем dθ из уравнения 7.15 к уравнению 7.18 предполагает следующее:

Следовательно,

Уравнение 7.20 называется второй теоремой о площади моментов. Вторая теорема момента-площади утверждает, что расстояние по вертикали точки B на упругой кривой от касательной к кривой в точке A равно моменту относительно вертикали через B площади поверхности Диаграмма изгибающего момента между A и B , разделенная на жесткость при изгибе, EI .

7.5.3 Условные обозначения

Знаковые соглашения теорем о площади моментов следующие:

(1) Касательное отклонение точки B, относительно касательной, проведенной на упругой кривой в точке A , является положительным, если B лежит выше нарисованной касательной в точке A , и отрицательным, если оно лежит ниже касательной (см. рисунок 7.9).

(2) Наклон в точке B относительно касательной, проведенной в точке A на упругой кривой, является положительным, если касательная, проведенная в точке B , вращается против часовой стрелки по отношению к касательной. при A и отрицательный, если он вращается по часовой стрелке (см. рисунок 7.9).

Рис. 7.9. Представление соглашения о знаках.

Процедура анализа методом моментной площади

• Нарисуйте схему свободного тела балки.

• Нарисуйте диаграмму балки M / EI . Это будет выглядеть как обычная диаграмма изгибающих моментов балки, если балка является призматической (т.е. имеет одинаковое поперечное сечение по всей длине).

• Чтобы определить наклон в любой точке, найдите угол между касательной, проходящей через точку, и касательной, проходящей через другую точку на отклоненной кривой, разделите диаграмму M / EI на простые геометрические фигуры, а затем примените первый момент -зональная теорема.Чтобы определить прогиб или тангенциальное отклонение любой точки вдоль балки, примените вторую теорему момент-площадь.

• В случаях, когда конфигурация диаграммы M / EI такова, что ее нельзя разделить на простые формы с известными площадями и центроидами, предпочтительно рисовать диаграмму M / EI по частям. Это влечет за собой установку фиксированной опоры в любой удобной точке вдоль балки и построение диаграммы M / EI для каждой из приложенных нагрузок, включая реакции опоры, до применения любой из теорем для определения того, что требуется.

Таблица 7.1. Площади и центроиды геометрических фигур.

Пример 7.7

Консольная балка, показанная на рисунке 7.10a, подвергается действию сосредоточенного момента на ее свободном конце. Используя метод момент-площадь, определите уклон на свободном конце балки и прогиб на свободном конце балки. EI = постоянная.

Рис. 7.10. Консольная балка.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.10б.

Наклон при A . Наклон на свободном конце равен площади диаграммы между A и B согласно первой теореме момента-площади. Используя эту теорему и обращаясь к диаграмме, можно сделать следующее:

Прогиб при А . Прогиб на свободном конце балки равен моменту относительно вертикали через A области диаграммы между A и B согласно второй теореме момента-площади.Используя эту теорему и обращаясь к рисункам 7.10b и 7.10c, можно сделать следующее:

Пример 7.8

Подвесная консольная балка несет равномерно распределенную нагрузку 4 тысячи фунтов / фут по всей своей длине, как показано на рис. 7.11a. Используя метод момента-площади, определите наклон в точке A и прогиб в точке A .

Рис. 7.11. Подпираемая консольная балка.

Решение

( M / EI ) диаграмма.Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.11b.

Наклон при A . Наклон на свободном конце равен площади диаграммы между A и B . Область между этими двумя точками обозначена как A ₁ и A ₂ на рисунке 7.11b. Используйте Таблицу 7.1, чтобы найти вычисление A ₂, дуга которого параболическая, и положение его центра тяжести.Заметив из таблицы, что и применив первую теорему о моменте и площади, можно сделать следующее:

Прогиб при А . Прогиб на A равен моменту площади диаграммы между A и B около A . Таким образом, используя вторую теорему момент-площадь и обращаясь к рисункам 7.11b и 7.11c, можно сделать следующее:

Пример 7.9

Деревянная балка с простой опорой длиной 8 футов будет нести распределенную нагрузку на пол 500 фунтов / фут по всей ее длине, как показано на Рисунке 7.12а. Используя теорему о площади момента, определите наклон на конце B и максимальный прогиб.

Рис. 7.12. Деревянная балка с простой опорой.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.12b.

Уклон B . Наклон в точке B равен площади диаграммы между B и C .Область между этими двумя точками обозначена как A ₂ на рисунке 7.12b. Применение первой теоремы момент-площади дает следующее:

Максимальный прогиб. Максимальный прогиб происходит в центре балки (точка C). Он равен моменту площади диаграммы между B и C около B . Таким образом,

Пример 7.10

Призматическая деревянная балка подвергается двум сосредоточенным нагрузкам равной величины, как показано на рисунке 7.13а. Используя метод момент-площадь, определите наклон в точке A, и прогиб в точке C.

Рис. 7.13. Призматическая балка из дерева.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.13b.

Наклон при A . Прогиб и вращение балки малы, так как они происходят в пределах упругости.Таким образом, наклон опоры A можно вычислить с помощью теоремы о малом угле следующим образом:

Чтобы определить тангенциальное отклонение B от A , примените вторую теорему момента-площади. Согласно теореме, он равен моменту площади диаграммы между A и B около B . Таким образом,

Таким образом, наклон в точке A равен

Прогиб при ° C .Прогиб на ° C может быть получен пропорционально.

Аналогично, тангенциальное отклонение C от A может быть определено как момент области диаграммы между A и C около C .

Следовательно, прогиб при ° C равен

7.6 Отклонение методом сопряженной балки

Метод сопряженных балок, разработанный Генрихом Мюллер-Бреслау в 1865 году, является одним из методов, используемых для определения наклона и отклонения балки.Метод основан на принципе статики.

Сопряженная балка определяется как фиктивная балка, длина которой равна длине реальной балки, но с нагрузкой, равной изгибающему моменту реальной балки, деленному на ее жесткость на изгиб, EI .

Метод сопряженных балок использует сходство взаимосвязи между нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом, а также между кривизной, наклоном и прогибом, полученными в предыдущих главах и представленными в таблице 7.2.

Таблица 7.2. Взаимосвязь между изгибающим моментом нагрузки и сдвигом и прогибом кривизны-наклона.

7.6.1 Опоры для сопряженных балок

Опоры для сопряженных пучков показаны в таблице 7.3, а примеры реальных и сопряженных пучков показаны на рис. 7.4.

Таблица 7.3. Опоры для сопряженных балок.

Таблица 7.4 Реальные пучки и их сопряженные.

7.6.2 Условные обозначения

Для диаграммы положительной кривизны, где есть положительная ордината диаграммы, нагрузка в сопряженном элементе должна указывать в положительном направлении y (вверх) и наоборот (см. Рисунок 7.14).

Рис. 7.14. Диаграмма положительной кривизны.

Если следовать условию, установленному для диаграмм положительной кривизны, то положительная поперечная сила в сопряженной балке равна положительному наклону в реальной балке, а положительный момент в сопряженной балке равняется положительному отклонению (движению вверх) реальной балки. . Это показано на Рисунке 7.15.

Рис. 7.15. Сдвиг и наклон в балке.

Процедура анализа методом сопряженного пучка

• Постройте диаграмму кривизны реальной балки.

• Нарисуйте сопряженный луч для реального луча. Сопряженная балка имеет ту же длину, что и реальная балка. Вращение в любой точке реальной балки соответствует поперечной силе в той же точке сопряженной балки, а смещение в любой точке реальной балки соответствует моменту в сопряженной балке.

• Примените диаграмму кривизны реальной балки как распределенную нагрузку на сопряженную балку.

• Используя уравнения статического равновесия, определите реакции на опорах сопряженной балки.

• Определите поперечную силу и момент на интересующих участках сопряженной балки. Эти поперечные силы и моменты равны наклону и прогибу, соответственно, в реальной балке. Положительный сдвиг в сопряженной балке подразумевает наклон против часовой стрелки в реальной балке, а положительный момент означает отклонение вверх в реальной балке.

Пример 7.11

Используя метод сопряженных балок, определите наклон и прогиб в точке A консольной балки, показанной на рисунке 7.16а. E = 29 000 тысяч фунтов / кв. Дюйм и I = 280 дюймов ⁴

Рис. 7.16. Сопряженный пучок.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.16b.

Сопряженная балка. Сопряженный пучок, нагруженный диаграммой, показан на рисунке 7.16c. Обратите внимание, что свободный конец реального пучка становится фиксированным в сопряженном пучке, в то время как фиксированный конец реального пучка становится свободным в сопряженном пучке.Диаграмма применяется в качестве направленной вниз нагрузки в сопряженной балке, поскольку на рис. 7.16b она отрицательна.

Наклон при A . Наклон в точке A, в реальной балке — это сдвиг в точке A, в сопряженной балке. Сдвиг при A в конъюгате следующий:

Здесь используется то же знаковое обозначение силы сдвига, которое использовалось в главе 4.

Таким образом, наклон реальной балки в точке A будет следующим:

Прогиб при А .Прогиб в точке A, в реальной балке равен моменту в точке A, сопряженной балки. Момент при A сопряженной балки равен:

Здесь используется то же обозначение изгибающего момента, что и в главе 4.

Таким образом, прогиб в реальной балке в точке A будет следующим:

Пример 7.12

Используя метод сопряженной балки, определите наклон опоры A и прогиб под действием сосредоточенной нагрузки свободно опертой балки в точке B , как показано на рисунке 7.17а.

E = 29 000 тысяч фунтов / кв. Дюйм и I = 800 дюймов ⁴

Рис. 7.17. Балка с простой опорой.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму кривизны момента (), показанную на рисунке 7.17b.

Сопряженная балка. Сопряженный пучок, нагруженный диаграммой, показан на рисунке 7.17c. Обратите внимание, что A и C , которые являются простыми опорами в реальной балке, остаются неизменными в сопряженной балке. Диаграмма приложена как восходящая нагрузка в сопряженной балке, поскольку на рис. 7.17b она положительна.

Реакции для сопряженного пучка. Реакцию на опорах сопряженной балки можно определить следующим образом:

Наклон при A . Наклон в точке A, в реальной балке — это поперечная сила в точке A, в сопряженной балке.Сдвиг в точке A в сопряженной балке составляет:

Таким образом, уклон в опоре A реальной балки будет следующим:

Прогиб на B . Прогиб в точке B в реальной балке равен моменту в точке B сопряженной балки. Момент при B сопряженной балки равен:

Прогиб реальной балки в точке B составляет:

Краткое содержание главы

Отклонение балок с помощью геометрических методов: Геометрические методы, рассматриваемые в этой главе, включают метод двойного интегрирования, метод функции сингулярности, метод моментной площади и метод сопряженных балок.Перед обсуждением этих методов было получено следующее уравнение упругой кривой балки:

Метод двойного интегрирования: Этот метод включает двойное интегрирование уравнения упругой кривой. Первое интегрирование дает наклон, а второе интегрирование дает отклонение. Константы интегрирования определяются с учетом граничных условий.

Метод функции сингулярности: Этот метод включает использование функции сингулярности или полупериода для описания уравнения упругой кривой для всей балки.Функцию полудиапазона в общем виде можно записать следующим образом:

Метод сингулярности лучше всего подходит для балок с большим количеством разрывов из-за сосредоточенных нагрузок и моментов. Этот метод значительно сокращает количество констант интегрирования, которые необходимо определить, и, таким образом, упрощает вычисление по сравнению с методом двойного интегрирования.

Метод «момент-площадь» : в этом методе используются две теоремы для определения наклона и прогиба в определенных точках на упругой кривой балки.Две теоремы следующие:

Первая теорема момент-площадь: Изменение наклона между любыми двумя точками на упругой кривой балки равно площади диаграммы между этими двумя точками.

Вторая теорема момент-площадь: Вертикальное отклонение точки A от касательной, проведенной к упругой кривой в точке B , равно моменту площади под диаграммой между этими двумя точками относительно точки A .

Метод сопряженной балки: Сопряженная балка была определена как воображаемая балка с той же длиной, что и фактическая балка, но с нагрузкой, равной диаграмме фактической балки. Опоры в реальных балках заменяются фиктивными опорами с граничными условиями, которые приведут к изгибающему моменту и поперечной силе в определенной точке сопряженной балки, равным прогибу и наклону, соответственно, в одних и тех же точках реальной балки.

Практические задачи

7.1 Используя метод двойного интегрирования, определите уклоны и прогибы на свободных концах консольных балок, показанных на рисунках с P7.1 по P7.4. EI = постоянная.

Рис. P7.1. Консольная балка.

Рис. P7.2. Консольная балка.

Рис. P7.3. Консольная балка.

Рис. P7.4. Консольная балка.

7.2 Используя метод двойного интегрирования, определите уклоны в точке A и отклонения в средней точке C балок, показанных на рисунке P7.5 и рисунок P7.6. EI = постоянная.

Рис. P7.5. Луч.

Рис. P7.6. Луч.

7.3 Используя метод сопряженной балки, определите наклон в точке A и прогиб в точке B балки, показанной на рисунках с P7.7 по P7.10.

Рис. P7.7. Луч.

Рис. P7.8. Луч.

Рис. P7.9. Луч.

Рис.P7.10. Луч.

7.4 Используя метод момент-площадь, определите прогиб в точке A консольной балки, показанной на рисунках P7.11 — P7.12.

Рис. P7.11. Консольная балка.

Рис. P7.12. Консольная балка.

7.5 Используя метод момент-площадь, определите наклон в точке A и наклон в средней точке C балок, показанных на рисунках P7.13 и P7.14.

Рис.P7.13. Луч.

Рис. P7.14. Луч.

7.6 Используя метод функции сингулярности, определите наклон и прогиб в точке A консольной балки, показанной на рисунке P7.15.

Рис. P7.15. Консольная балка.

7.7 Используя метод функции сингулярности, определите наклон в точке B и наклон в точке C балки с выступом, показанным на рисунке P7.16. EI = постоянная. E = 200 ГПа, I = 500 × 106 мм ⁴.

Рис. P7.16. Луч.

7.8 Используя метод функции сингулярности, определите наклон в точке C и прогиб в точке D балки с выступающими концами, как показано на рисунке P7.17. EI = постоянная.

Рис. P7.17. Луч.

7.9 Используя метод функции сингулярности, определите наклон в точке A и прогиб в точке B балки, показанной на рисунке P7.18. EI = постоянная.

Рис. P7.18. Луч.

Лучшее руководство по определению прогиба в балках переменного поперечного сечения — опытный инженер

Таблицы балок дают информацию и предполагают, что прогиб
расчет основан на постоянном сечении. Итак, что нам делать, если у нашей балки есть крест
сечение, которое меняется по длине балки?

Чтобы определить величину отклонения в
балка переменного сечения, необходимо интегрировать формулу прогиба балки
с моментом инерции, являющимся переменной по отношению к длине и
применить граничные условия.Луч
Формула отклонения: v ’’ = M (x) / [E * I (x)].

Непрерывное или дискретное — Есть два типа секций балки: непрерывные и дискретные. Большинство балок представляют собой непрерывные балки и , которые имеют либо постоянное сечение, либо сечение, которое постепенно изменяется по длине балки. Кровельные балки в больших стальных зданиях — отличный пример непрерывной переменной балки. Балка относительно короткая на концах и очень высокая посередине.

Дискретные балки балки
которые имеют внезапные разрывы в разрезе.Вы не поверите, но иногда это проще
для расчета, потому что дискретные участки обычно постоянны, что приводит к
более легкий расчет.

Формула отклонения балки является универсальной
формула, которая позволяет настраивать несколько нагрузок и балку
разделы. Предупреждаю, что чем больше
чем точнее должен быть ваш расчет, тем сложнее будет выполнить математику. Упрощение здесь сэкономит много времени
и усилия. Как упоминалось ранее,
формула:

в ’’
= M (x) / [E * I (x)]

Где v ’’ — вторая производная отклонения (
ускорение прогиба), M — момент, который обычно является функцией
положение по длине балки, x.
E — модуль упругости, I — момент инерции поверхности
луч. Все табличные балки будут
считайте это постоянной величиной, и поэтому ни одна из формул прогиба
может быть использован.

Теперь, когда мы проинтегрируем приведенное выше уравнение, мы будем
выполнение неопределенного интеграла, что означает, что мы должны добавить константу, C _n,
к многочлену каждый раз, когда мы интегрируем.
Поскольку мы будем интегрировать уравнение два раза, мы получим
две константы. Если у нас есть дискретный
В этом случае у нас будет два или более уравнений.

Граничные условия
— это требования, которым должна соответствовать формула прогиба балки, когда она
находится в окончательном виде. Окончательная форма
приходит только тогда, когда мы используем граничные условия для решения констант
образованный неопределенным интегралом. Общий
в случаях, когда концы балки с простой опорой должны быть равны 0 (дюймы, мм и т. д.) или
наклон консольной балки должен быть 0 радиан.

В этой статье мы рассмотрим три примера распространенных балок переменного сечения.

Двухсекционная консольная балка с точечной нагрузкой на конце. 4.
Теперь мы определим момент и дважды проинтегрируем уравнение прогиба балки, каждый раз добавляя переменную для неопределенного интеграла. Я решил, что моя система координат (переменная x) начинается с основания. Это немного усложняет интегрирование, но переменные C ₁ и C ₂ будут уравновешиваться из-за граничных условий 1 и 2. Вы увидите через секунду.
Мне нужно выполнить интегрирование только для одного из разделов, а затем изменить I ₁ на I ₂ в уравнениях.Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.
Теперь, когда проблема определена, давайте установим граничные условия. Нам нужно, чтобы положение и наклон на фиксированном конце балки составляли 0 дюймов и 0 радиан. Также нам понадобятся еще два граничных условия на стыке сегментов. Наклон и положение в этом положении должны быть одинаковыми.
Решим граничные условия 1 и 2
Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C1 и C2
будет равно 0, когда я выберу, чтобы система координат начиналась с
база.
Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.
Обратите внимание на чек, который я поставил в блок поиска, чтобы
чтобы мы могли проверить, что v ₁ = v ₂ и s ₁ =
s ₂ при 50 дюйм.Это подтверждает
что положение и наклон в этой точке будут непрерывными.
Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый — нанести каждый сегмент по всей длине. Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены. Как видите, линии пересекаются и касаются друг друга на расстоянии 50 дюймов. Кроме того, v ₁ не имеет прогиба или наклона в основании.
Наконец, мы объединим два графика вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки. 4.
Теперь определим момент и интегрируем
уравнение отклонения балки дважды каждый раз, добавляя переменную. Я выбрал две системы координат. Координата x идет слева направо и
координата y идет справа налево.
Их связывает:
г
= L-x
Я выбрал эту систему координат, чтобы C ₂
и C ₄ будут сокращаться, когда мы решаем граничные условия 1 и 2. Это также упрощает математические вычисления.
чрезвычайно.Вы увидите через секунду.
Мне нужно выполнить интегрирование только для одного из разделов, а затем изменить I ₁ на I ₂ и w ₁ на w ₂ в уравнениях. В уравнениях правого сечения я также заменю «y» на «x». Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.
Теперь, когда проблема определена, давайте установим граничные условия.Нам нужно, чтобы концы балки были отклонены на 0 дюймов (BC 1 и 2). Также нам понадобятся еще два граничных условия на стыке сегментов. Наклон и положение в этой позиции должны быть такими же, как и в месте соединения сегментов.
Решим граничные условия 1 и 2
Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C ₂
и C ₄ будет равно 0, если я выберу координату
система запускается на базе.
Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.
Обратите внимание на чек, который я поставил в блок поиска, чтобы
чтобы мы могли проверить, что v ₁ = v ₂ и s ₁ =
с ₂ при 200 дюйм. Это подтверждает
что положение и наклон в этой точке будут непрерывными.
Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый — нанести каждый сегмент по всей длине.Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены.
Ой, что случилось !?
Линии определенно пересекаются на расстоянии 200 дюймов, и каждый конец имеет 0 дюймов
прогиб, но они не касаются на пересечении. Я не только показываю силу
график решения для точности, но также демонстрируя, что с помощью двух
разные системы координат создают проблему.
Согласно уравнениям склоны приближаются к месту расположения
стык на равном по величине нисходящем склоне.Однако сделать эту работу одной из склонов
на самом деле нужно подойти. Мы можем
исправьте эту проблему, внеся одно небольшое изменение.
с ₁
= -s ₂
Давайте внесем это изменение и приступим к решению.
Да, намного лучше! Наконец, мы объединим два графика вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.
Как и ожидалось, более длинная и жесткая секция меньше прогибается.
Пример 3: Постоянно изменяющаяся неразрезная балка с простой опорой и постоянной распределенной нагрузкой.
Эта проблема состоит из стальной балки с простой опорой длиной 300 дюймов и распределенной нагрузки 1000 фунтов / дюйм поперек балки. Сечение начинается на высоте 10 дюймов, линейно увеличивается к центру, где достигает высоты 24 дюйма. Затем он снова сужается до 10 дюймов.
Чтобы определить, как момент инерции изменяется относительно x, мы будем моделировать в Solidworks и делать сечения каждые 30 дюймов. Мы сведем эти данные в таблицу и подгоним к ним линию.
Теперь вы, наверное, заметили, что я сделал таблицу только для значений от 0 до 150 дюймов. Это потому, что я собираюсь использовать симметрию, чтобы упростить эту сложную задачу. Мы можем использовать симметрию, потому что и нагрузка, и сечение балки симметричны относительно середины балки. Из-за симметрии нам нужно, чтобы конечная точка имела прогиб 0 дюймов, а наклон в середине балки был 0 градусов. Затем мы можем отразить это, чтобы получить непрерывное отклонение луча. В этом случае координата x будет идти слева направо.
Здесь вы можете видеть, что вычисленные значения I (x) полностью соответствуют тому, что указано в таблице выше. Я назвал вторую производную от положения «а1» (ускорение). Как видите, верхняя и нижняя части имеют переменную «x», и интегрировать это будет очень весело. Итак, вам нужно знать обо мне одну вещь. У меня есть ограничения относительно того, что я не буду делать. Интеграция — одна из таких вещей. Вот почему у нас есть MathCAD!
Как видите, очень утомительная работа по интеграции
была замалчена, и мы смогли напрямую решить для нашей границы
условия.В уравнениях s (x) и
v (x), на самом деле были натуральные бревна и каким-то образом появилась обратная касательная
(не показано). Я до сих пор не жалею
позволяя MathCAD делать всю работу.
Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый — нанести каждый сегмент по всей длине. Мы ищем, чтобы наши граничные условия были выполнены. Как видите, отклонение при x = 0 дюймов составляет 0 дюймов, а наклон кажется плоским при x = 150 дюймов.
Наконец, мы отразим графики вместе, образуя окончательное уравнение отклонения нашей консольной балки.
Как видите, отклонение составляет 0 дюймов в конечных точках и имеет максимальное отклонение в центре.
Заключение
В этой статье рассматриваются три популярных варианта нагружения, когда балка имеет переменное поперечное сечение. Хотя это действительно связано с исчислением, часто это очень легко сделать вручную, потому что это многочлены. Если нет, то будьте благодарны за такие надежные программы, как MathCAD, которые сделают это за вас. Эта статья должна дать вам хорошее представление о процедуре, используемой для анализа подобных балок.Если ваша балка не загружена именно так, вы всегда можете найти расчет момента в таблице и интегрировать свое сердце.
Связанные
Колебания консольных балок:
Колебания консольных балок:
Колебания консольных балок:
Отклонение, частота и использование в исследованиях
Для: Dr.Негахбан
EngrM 325H
Скотт Уитни
23 апреля 1999 г.
Введение
Измерение свойств тонкой пленки затруднено по сравнению с
сыпучие материалы. Один из методов определения модуля упругости тонкого
фильм взят из частотного анализа консольной балки. Прямая, горизонтальная
консольная балка под действием вертикальной нагрузки деформируется в кривую.Когда это
сила снимается, балка вернется в первоначальную форму; тем не мение,
его инерция будет удерживать луч в движении. Таким образом, балка будет вибрировать на
его характерные частоты. Если на луч напыляется тонкая пленка,
изменится жесткость на изгиб. Это изменение вызывает частоту
колебаний сдвинуть. Если сдвиг частоты измерен, пленки
модуль упругости можно рассчитать.
Установка тонкой консольной балки
Балки, изучаемые в этой статье, представляют собой длинные тонкие консольные балки.Фигура
1 ниже показана такая балка. Один конец балки закреплен, а другой
конец свободен. Начало координатной оси находится на фиксированном конце, точка
А .
Типичная балка, использованная в этом исследовании, имеет длину L, = 30 мм,
Вт
= Шириной 5 мм и толщиной т = 0,5 мм. Материал балки необходимо выбрать
так что его жесткость отличается от жесткости тонких пленок, так что
частотный сдвиг значительный. В данном исследовании использовались пленки оксида цинка (около
Толщиной 5м), поэтому
хорошая подложка — алюминий.
Рисунок 1: Изученная типовая консольная балка
Прогиб консольной балки
Если свободный конец консольной балки подвергается точечной нагрузке, P ,
луч отклонится в кривую. См. Рисунок 2 ниже. Чем больше
нагрузка, тем больше прогиб, (x) .
Рисунок 2: Прогиб консольной балки под нагрузкой на неподвижном конце
Предполагая, что балка претерпевает небольшие прогибы, находится в линейно-упругой
области и имеет однородное поперечное сечение, следующие уравнения могут быть
использовал (Гир, стр.602).
Кривизна балки ,,
равна второй производной прогиба
Кривизна также может быть связана с изгибающим моментом, M , и
жесткость на изгиб, EI,
где E — модуль упругости балки, а I — момент
инерции. Изгибающий момент в балке можно связать с поперечной силой,
В ,
и боковая нагрузка на балку q .Таким образом,
(1а, б, в)
Для нагрузки, показанной на рисунке 2, распределенная нагрузка, поперечная сила и
изгибающий момент составляет:
Таким образом, решение уравнения (1a) есть
(2а)
На свободном конце балки смещение составляет:
(2b) Колебания балок
-Определение уравнений
Когда сила P снимается со смещенной балки, балка
вернется к своей первоначальной форме.Однако инерция балки вызовет
луч, чтобы вибрировать вокруг этого исходного местоположения. Предполагая, что эластичный
модуль, инерция и площадь поперечного сечения ( A ) постоянны вдоль
длина балки, уравнение для этой вибрации (Volterra, стр. 310)
(3)
где
линейная массовая плотность балки. Уравнение (3) лучше всего решается разделением
переменных (Аткинс, стр. A29). Предположим, что смещение можно разделить
на две части, одна зависит от положения, а другая от времени. (х, t) = X (x) f (t)
(4)
где X не зависит от времени, а f не зависит от положения.
Тогда уравнение (3) принимает вид
Деление уравнения (3) на X (x) f (t) :
(5)
Поскольку левая часть уравнения (5) не меняется при изменении t ,
правая часть должна быть постоянной. Аналогично, поскольку правая половина уравнения
(5) не изменяется при изменении x , левая половина должна быть постоянной.Поскольку каждая сторона постоянна, уравнение (4) действительно и метод
может использоваться разделение переменных. Обозначим эту постоянную.
Можно показать, что
это реальная величина, и что
— собственные частоты балки.
Уравнение (5) теперь можно записать в виде двух дифференциальных уравнений (Вольтерра,
п. 311),
(6а, б)
где
(6c)
Чтобы решить уравнение (6a), следующие граничные условия для
консольная балка необходима
Эти граничные условия исходят от опор консольной балки.Неподвижный конец должен иметь нулевое смещение и нулевой наклон из-за зажима.
Свободный конец не может иметь изгибающий момент или усилие сдвига.
Общее решение уравнения (6a) представляет собой линейную комбинацию тригонометрических
уравнения (Вольтерра, стр.312)
(7)
Используя первое граничное условие, можно найти C ₁
=>
Взяв первую производную уравнения (7) и используя вторую границу
состояние, C ₃ можно найти
=>
Старшие производные уравнения (7) и остальные граничные условия
дайте
(8а)
(8b)
Уравнения (8a) и (8b) можно объединить, чтобы получить
(9)
Таким образом, для консольной балки уравнение (7) сводится к
(10)
Согласно Volterra, p.312, константы C _n равны
произвольный. Однако для динамического решения смещения
быть равным статическому решению (в момент времени t = 0), C ₂
должно быть равно ½. С этим значением для C ₂ , X _n (0) = 0
и X _n (L) = 1 .
Подстановка уравнения (9) в (8a) или (8b) приведет к определению частоты
уравнение для консольной балки,
(11)
Частотное уравнение может быть решено для постоянных: k _n L ;
первые шесть показаны ниже на рисунке 3 (примечание, k _n = 0
игнорируется, поскольку это означает, что полоса находится в состоянии покоя, поскольку = 0).Эти константы вместе с уравнением (6c) можно использовать для нахождения естественного
частоты консольной балки.
Рисунок 3: Константы колебаний консольной балки. Обратите внимание, поскольку
cosh ( x ) большой, когда x большой, k _n L требуется
быть найденным с высокой точностью.
Для каждой частоты существует характерная вибрация (Вольтерра,
п. 319)
(12)
где A _n зависит от начального положения в момент времени t = 0,
и B _n зависит от начальной скорости.В этом исследовании,
балка начинает вибрацию при смещении и в состоянии покоя. Таким образом, B _n = 0
а также
(13)
Начальное смещение, (x, 0) ,
было найдено выше, уравнение (2a). Уравнение (13) можно решить аналитически
с помощью компьютерной математической программы,
-Примеры режимов вибрации
Типичные значения A _n и частоты (для используемых лучей
в этом исследовании) показаны на Рисунке 3 выше.Обратите внимание, что только первый
несколько режимов вибрации имеют значительно большие значения для константы
А _н . Таким образом, колебательными модами более высокого порядка можно пренебречь.
Чтобы получить полное смещение консольной балки, просто сложите все
смещения, найденные в уравнении (12) для каждой моды. Ниже на Рисунке 4 показано
смещение, вызываемое каждой модой при т = 0; также включен
полное начальное смещение балки. От этих перемещений это
очевидно, что даже третья характеристическая мода мало влияет на
полное перемещение балки.
Рисунок 4: Начальное смещение, вызванное каждой модой.
Со временем каждая мода будет колебаться вокруг нулевого смещения.
линии с частотой, указанной на Рисунке 3 выше. На рисунке 5 ниже показано
эта вибрация для первых двух режимов, более высокие моды действуют аналогично. В
общее движение луча сложное; каждая характеристическая мода колеблется с
разного размера, формы и частоты.
Следующие файлы можно загрузить для просмотра анимации первого
несколько режимов и полная вибрация консольной балки.Чтобы просмотреть их,
необходимо загрузить Lotus Screencam Player: Scplayer.exe
Общее движение: 325Htot.exe

1-й режим:
325h2st.exe

2-й режим:
325h3nd.exe

3-й режим:
325h4rd.exe

4-й режим:
325h5th.exe
На рисунке 6 ниже показаны показания пьезоэлектрического датчика, расположенного
возле закрепленного конца балки; этот датчик показывает взаимодействие каждого
режим вибрации.Также показана вибрация, предсказанная из уравнения (12).
в этом месте. Фактические и прогнозируемые сигналы почти идентичны;
основное различие между ними — демпфирование (как вязкое, так и Кельвина-Фойгта)
колебаний высших порядков в реальном сигнале.
Рисунок 5: Колебания первых двух характерных мод; другие режимы
вибрировать аналогично. Время, t , в микросекундах.
Рисунок 6: Сигнал ZnO от вибрирующей консольной балки по сравнению с
теоретические колебания.
Измерение модуля упругости
для тонких пленок
-Причина использования частотного анализа
Если консольная балка покрыта тонкой пленкой напылением, то изгиб
изменится жесткость. Изменение жесткости напрямую повлияет на частоту
колебаний балок. Таким образом, модуль упругости пленки может быть
определяется из этого сдвига частоты. См. Рисунок 7 для схематического рисунка.
напыленного пучка; индекс s относится к подложке, а f
относится к фильму.Обратите внимание, высота пленки сильно преувеличена,
поскольку .
Рис.7: Распылитель консольной балки, покрытый тонкой пленкой
Теоретически жесткость можно определить по неподвижной балке.
под нагрузкой, P , см. уравнения (2a, b). Предположим, что жесткость на изгиб
был увеличен добавлением тонкой пленки к лучу. Тогда, если предположить, что
нагрузка была постоянной, прогиб на свободном конце уменьшится.Для
Типичная балка, описанная выше, это изменение смещения чрезвычайно мало.
Например, алюминиевая балка с начальным смещением (на свободном конце)
0,55 мм будет иметь начальное смещение 0,49 мм при относительно
толстый (8 м) ZnO
фильм. Изменение 0,06 мм слишком мало, чтобы его можно было измерить обычным
инструменты и более тонкая пленка ZnO (1 м)
даст неизмеримую разницу в смещении. Таким образом, стационарный
измерения модуля упругости пленок затруднены, если не
невозможно.
Однако тот же луч, покрытый ZnO, будет иметь основную частоту,
сдвиг с 329,7 Гц на 342,0 Гц. Любой осциллограф можно использовать для измерения
колебания балок, см. рисунок 6 выше. Если берется достаточно точек данных,
преобразование Фурье сигнала может измерять частотные сдвиги, даже если
малая как 0,2 Гц. Следовательно, сдвиг частоты может быть известен с помощью
высокая точность, и можно рассчитать модуль упругости пленок.
-Определение уравнений
Все уравнения, полученные в предыдущих разделах (1-13), все еще могут
применяется к двухкомпонентной балке при изменении нескольких постоянных:
EI заменяется на E _s I _s + E _f I _f
и исправлено
как показано ниже.Заявленные ранее предположения все еще должны выполняться:
небольшие прогибы, линейно-упругие и однородное поперечное сечение. Последний
Из этого предположения следует, что толщина пленки не может меняться вдоль пучка (затруднено
делать при напылении покрытия длинных балок).
Линейная массовая плотность балки с покрытием теперь равна
Центр масс, а также инерция балки с покрытием сместятся
Уравнение (6c) используется для измерения модуля упругости пленки.
от сдвига частоты.(14)
(15)
Поскольку амплитуды более высоких мод колебаний настолько малы, см. Рис.
4 уравнение (15) решается с использованием основной частоты n = 1.
Заключение
Из-за небольшого размера тонких пленок обычные методы измерения
их свойства часто не работают. Эти свойства тонкой пленки могут отличаться.
от свойств сыпучего материала. Поэтому альтернативные методы измерения
должны быть развиты.Вибрация консольных балок — один из таких методов.
Это не ограничивается только определением модуля упругости; Другие
полезная информация, такая как пьезоэлектрические постоянные, может быть определена
из консольных балок.
Цитируемые работы
Аткинс, П. У. Физическая химия . 5 ^-е изд. Нью-Йорк:
У. Х. Фриман и компания, 1994.
Гир Дж. М., Тимошенко С. П. Механика материалов .4 ^-й
изд. Бостон: Издательство PWS, 1997.
Вольтера Э., Захманоглу Э. К. Динамика колебаний . Колумбус,
Чарльз Э. Меррилл Букс, Инк., 1965.
Отклонение луча
Балка — конструктивный элемент, способный выдерживать большие нагрузки при изгибе. В случае небольших прогибов форму балки можно описать линейным дифференциальным уравнением четвертого порядка.
Рассмотрим вывод этого уравнения. Для изгибающейся балки угол \ (d \ theta \) появляется между двумя соседними секциями, расположенными на расстоянии \ (dx \) (рисунок \ (1 \)).
Рис. 1.
Деформация \ (\ varepsilon \) в каждой точке пропорциональна координате \ (y, \), отсчитываемой от нейтральной линии. Длина нейтральной линии не изменилась.
Из геометрии рисунка \ (1 \) следует, что
\ [\ varepsilon = \ frac {y} {R}, \]
где \ (R \) — радиус кривизны балки. 2}}} {2}} = {0.4}}} = q. \]
Это уравнение при соответствующих граничных условиях определяет прогиб нагруженной балки.
Решенные проблемы
Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.
Пример 1
Определите прогиб балки, жестко зажатой с обоих концов и нагруженной равномерно распределенной силой (рисунок \ (4 \)).
Пример 2
Тонкий цилиндрический вал длиной \ (L \) вращается с угловой скоростью \ (\ omega.\) На какой скорости \ (\ omega \) вал разрушается? Модуль упругости материала \ (E, \), масса вала \ (M, \) и радиус секции \ (a. \)
.

Прогиб консольной балки формула: Расчетные схемы для балок — Доктор Лом

Расчет прогиба балки методом начальных параметров

Теория по методу начальных параметров

Выбор базы и обозначение системы координат

Универсальное уравнение прогибов для балки

Учет распределенной нагрузки

Граничные условия

Пример расчета прогиба балки

Подготовительный этап

Расчет прогиба

Консольная балка | SkyCiv Engineering

Расчет прогиба консольной балки

Онлайн калькулятор определения прогиба/изгиба балок

Что такое прогиб балки?

Метод начальных параметров

Расчет прогибов балки

Реакции опор

Система координат

Распределенная нагрузка

Учет внешней нагрузки

Формулы прогибов

Вычисление прогиба

построение эпюр в балках

Расчетная схема № 274130

Жесткая заделка

Шарнирная опора

Врезной шарнир

Сосредоточенная сила F

Сосредоточенный момент M

Распределенная нагрузка

Подбор сечения и прогибы

Подробный ход решения – расчет балки, построение эпюр

Расчет балки онлайн

Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).

Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).

Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.

Расчет балок с жестким защемлением на двух опорах

Расчет консольных балок

Расчет двухпролетных балок

Составные балки и перемещения при изгибе (Лекция №21)

Методическое руководство к лабораторной работе «Определение прогиба консольной балки при прямом изгибе»

к выполнению лабораторной работы

Преподаватель Мальченко Л.Э.

о выполнении лабораторной работы

Выполнил: студент группы ________ ______________________

ФИ

Таблица 1

Расчет балки на изгиб | Блог Александра Воробьева

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Консольные балки — моменты и прогиб

Консольные балки — одиночная нагрузка на конце

Максимальная сила реакции

Максимальный момент

Максимальный прогиб

Напряжение

Пример — консольная балка с одинарной нагрузкой на конце, метрические единицы

Консольная балка — одиночная нагрузка

Максимальная сила реакции

Максимальный момент

Максимальный прогиб

Максимальный прогиб

Максимальное напряжение

Консольная балка — калькулятор одиночной нагрузки

Консольная балка — равномерно распределенная нагрузка

Максимальная реакция

Максимальный момент

Максимальный прогиб

Консольная балка — Калькулятор равномерной нагрузки

Более одной точечной нагрузки и / или равномерной нагрузки, действующей на консольную балку

Консольная балка — уменьшающаяся распределенная нагрузка

Максимальная сила реакции

Максимальный момент

Максимальный прогиб

Вставьте балки в модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox Sketchup Extension

Калькулятор отклонения консольной балки

Калькулятор для инженеров — уклон и прогиб консоли

Отличные калькуляторы

Дополнительные ссылки

Поищите на нашем сайте больше…

Выполнил: студент группы ______________